బిందువు గురించిన చర్చలో మనం బిందువు అనేది త్రిపరిమణరహితమైనది అని తెలుసుకున్నాం ఇంతవరకు. బిందువు ప్రకృతికి ఆవలిది అని ఒక ప్రతిపాదన కూడా చేసాం.
ప్రకృతికి ఆవలిది ఐనప్పుడు మన అవగాహనకు అందదు కదా. కాబట్టి దాన్ని గురించి సిధ్దాంతపరమైన వివేచనతో మాత్రమే దాని యొక్క తత్త్వాన్ని తెలుసుకోవలసి ఉంటుంది.
పాఠశాలలో రేఖాగణితం బోధిస్తారు. ఉదాహరణకు, ABC అనే శీర్షాలు ఉన్న త్రిభుజం గీయండి అని కొన్ని కొలతలు ఇస్తారు . AB, BC, CA అనే భుజాల పొడవు అదే క్రమంలో 3,4,5 సెంటీమీటర్లు అని చెప్పి ఆ త్రిభుజాన్ని కాగితం పైన గీయమన్నారు. సరే అది గీస్తాంఇచ్చిన కొలతలు గల భుజాలు కల ఆ త్రిభుజంలో మూడు బిందువులు A, B, C అవేవి ఉన్నాయి.
ఒక భూతద్దం తీసుకొని మనం పెనిసిల్ సహాయంతో గీసిన త్రిభుజంలోని A వద్దో మరొక శీర్షం వద్దో పెట్టి చూస్తే ఆ బిందువు అని మనం అనేది తాటికాయంత ఆకారంలో కనిపిస్తుంది. ఎంత సన్నని మొన ఉన్న పెనిసిల్ ఉపయోగించినా ఎంతోకొంత స్థూలత్వంతో కాని ఆ బిందువులను సూచించగలమా?
అంటే కేవలం సిధ్ధాంతపరమైన త్రిపరిమాణరాహిత్యాన్ని అవసరార్థం కొంచెం కంటికి కనిపించే ప్రకృతిలోనికి ఎంతో కొంత స్థూలత్వంతో తెచ్చి చూపకుండా రేఖాగణితం చెప్పే రేఖలూ త్రిభుజాలూ చతుర్భుజాలూ వంటివి గీయలేం. ఇంతవరకూ స్పష్టంగానే ఉంది కదా.
రేఖాగణితంలో ఒక మాట సిధ్ధాంతంగా చెప్తారు. ఏవైనా రెండు బిందువులను నిర్వచిస్తే వాటిని కలుపుతూ ఒకే ఒక సరళరేఖ ఉంటుందనీ, అంతేకాక ఆ సరళరేఖ ఆ రెండు బిందువులనూ దాటి అనంతంగా అటూ ఇటూ కొనసాగుతూ ఉంటుందనీ ఆ సిధ్దాంతం.
ఈ సందర్భంగానే మరొక ముఖ్యవిషయం కూడా చెప్తారు. ఏ సరళరేఖ మీదనైనా ఏ రెండు బిందువుల మధ్యనైనా సరే అనంతమైన బిందువులు ఉంటాయని.
రేఖాగణితం అనే కాదు సంఖాశాస్త్రంలో కూడా ఇటువంటి విషయం ఉంది. ఏ రెండు ఇష్ట సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన సంఖ్యలుంటాయి!
సరే దీన్నిబట్టి అనంతంగా కొనసాగిన ఒక బిందువుల శ్రేణియే ఒక సరళరేఖ అన్నది తెలుస్తున్నది. నిజానికి సరళంగా ఉండేవే కాదు వక్రంగా ఉండే వృత్తమూ దీర్థవ్త్తత్తమూ పరావలయమూ వంటి ఏ రేఖ ఐనా సరే అది అనంతంగా ఒక పధ్ధతి ప్రకారం అమరిన బిందువుల శ్రేణి అన్నది మనం ఇక్కడ అర్థం చేసుకోవాలి.
ఏదన్నా రేఖలో ఉన్నవి అనంతంగా ఉన్న బిందువులు అని తెలుసుకున్నాక ఒక ప్రశ్న వస్తుంది. ఆ బిందువుల మధ్యన బేధం ఉన్నదా? అంటే ఆ రేఖలో ఒకచోట ఉన్న బిందువు మరొక చోట ఉన్న మరొక బిందువుకన్నా భిన్నమైనదా?
రేఖ అనేది స్థూలత్వం కలది. మనకు కనుపిస్తున్నది కాబట్టి. కాని దానిలో ఉన్న బిందువుల్లో ఏదీ స్థూలత్వం కలది కాదు! ఒక బిందువుయొక్క తత్త్వమూ మరొక బిందువు యొక్క తత్త్వమూ వేరు వేరు కావు.
త్రిపరిమాణరహితమైన బిందువు తనను తాను అనంతంగా చేసుకొని రేఖారూపంగా విస్తరించటం వలన ఒక స్థూలమైన అంటే దృశ్యమానమైన రూపం వచ్చి అది ప్రకృతిలో ప్రత్యక్షం ఐనది.
రేఖాగణితంలో ద్విపరిమాణ గణితమూ త్రిపరిమాణ గణితమూ అని ఉన్నాయి. ద్విపరిమాణ గణితంతో వివిధరకాల రేఖారూపాలు సిధ్ధిస్తాయి. త్రిపరిమాణ గణితంతో ఎత్తు అనే మూడవపరిమాణం కూడా జోడించటం జరుగుతుంది.
ఉదాహరణకు ద్విపరిమాణ గణితంతో వృత్తాలను నిర్వచించ వచ్చును. గీయవచ్చును. త్రిపరిమాణ గణితంతో వృత్తానికి మూడవ పరిమాణం జోడించగానే మనకు గోళాకృతికి నిర్వచనాలూ నిర్మాణాలూ సిధ్ధిస్తాయి.
అంటే ద్విపరిమాణగణితం రేఖలనూ (యంత్రాల)నూ, త్రిపరిమాణ గణితం విగ్రహాలనూ స్థూలప్రపంచానికి నిర్వచన పూర్వకంగా చెప్తున్నది.
ఐతే ద్విపరిమాణం ఐనా త్రిపరిమాణం ఐనా సరే వెనుక నున్న ఆధారం మాత్రం త్రిపరిమాణ రహితమైన బిందువు!
ప్రకృతికి ఆవలిది ఐనప్పుడు మన అవగాహనకు అందదు కదా. కాబట్టి దాన్ని గురించి సిధ్దాంతపరమైన వివేచనతో మాత్రమే దాని యొక్క తత్త్వాన్ని తెలుసుకోవలసి ఉంటుంది.
పాఠశాలలో రేఖాగణితం బోధిస్తారు. ఉదాహరణకు, ABC అనే శీర్షాలు ఉన్న త్రిభుజం గీయండి అని కొన్ని కొలతలు ఇస్తారు . AB, BC, CA అనే భుజాల పొడవు అదే క్రమంలో 3,4,5 సెంటీమీటర్లు అని చెప్పి ఆ త్రిభుజాన్ని కాగితం పైన గీయమన్నారు. సరే అది గీస్తాంఇచ్చిన కొలతలు గల భుజాలు కల ఆ త్రిభుజంలో మూడు బిందువులు A, B, C అవేవి ఉన్నాయి.
ఒక భూతద్దం తీసుకొని మనం పెనిసిల్ సహాయంతో గీసిన త్రిభుజంలోని A వద్దో మరొక శీర్షం వద్దో పెట్టి చూస్తే ఆ బిందువు అని మనం అనేది తాటికాయంత ఆకారంలో కనిపిస్తుంది. ఎంత సన్నని మొన ఉన్న పెనిసిల్ ఉపయోగించినా ఎంతోకొంత స్థూలత్వంతో కాని ఆ బిందువులను సూచించగలమా?
అంటే కేవలం సిధ్ధాంతపరమైన త్రిపరిమాణరాహిత్యాన్ని అవసరార్థం కొంచెం కంటికి కనిపించే ప్రకృతిలోనికి ఎంతో కొంత స్థూలత్వంతో తెచ్చి చూపకుండా రేఖాగణితం చెప్పే రేఖలూ త్రిభుజాలూ చతుర్భుజాలూ వంటివి గీయలేం. ఇంతవరకూ స్పష్టంగానే ఉంది కదా.
రేఖాగణితంలో ఒక మాట సిధ్ధాంతంగా చెప్తారు. ఏవైనా రెండు బిందువులను నిర్వచిస్తే వాటిని కలుపుతూ ఒకే ఒక సరళరేఖ ఉంటుందనీ, అంతేకాక ఆ సరళరేఖ ఆ రెండు బిందువులనూ దాటి అనంతంగా అటూ ఇటూ కొనసాగుతూ ఉంటుందనీ ఆ సిధ్దాంతం.
ఈ సందర్భంగానే మరొక ముఖ్యవిషయం కూడా చెప్తారు. ఏ సరళరేఖ మీదనైనా ఏ రెండు బిందువుల మధ్యనైనా సరే అనంతమైన బిందువులు ఉంటాయని.
రేఖాగణితం అనే కాదు సంఖాశాస్త్రంలో కూడా ఇటువంటి విషయం ఉంది. ఏ రెండు ఇష్ట సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన సంఖ్యలుంటాయి!
సరే దీన్నిబట్టి అనంతంగా కొనసాగిన ఒక బిందువుల శ్రేణియే ఒక సరళరేఖ అన్నది తెలుస్తున్నది. నిజానికి సరళంగా ఉండేవే కాదు వక్రంగా ఉండే వృత్తమూ దీర్థవ్త్తత్తమూ పరావలయమూ వంటి ఏ రేఖ ఐనా సరే అది అనంతంగా ఒక పధ్ధతి ప్రకారం అమరిన బిందువుల శ్రేణి అన్నది మనం ఇక్కడ అర్థం చేసుకోవాలి.
ఏదన్నా రేఖలో ఉన్నవి అనంతంగా ఉన్న బిందువులు అని తెలుసుకున్నాక ఒక ప్రశ్న వస్తుంది. ఆ బిందువుల మధ్యన బేధం ఉన్నదా? అంటే ఆ రేఖలో ఒకచోట ఉన్న బిందువు మరొక చోట ఉన్న మరొక బిందువుకన్నా భిన్నమైనదా?
రేఖ అనేది స్థూలత్వం కలది. మనకు కనుపిస్తున్నది కాబట్టి. కాని దానిలో ఉన్న బిందువుల్లో ఏదీ స్థూలత్వం కలది కాదు! ఒక బిందువుయొక్క తత్త్వమూ మరొక బిందువు యొక్క తత్త్వమూ వేరు వేరు కావు.
త్రిపరిమాణరహితమైన బిందువు తనను తాను అనంతంగా చేసుకొని రేఖారూపంగా విస్తరించటం వలన ఒక స్థూలమైన అంటే దృశ్యమానమైన రూపం వచ్చి అది ప్రకృతిలో ప్రత్యక్షం ఐనది.
రేఖాగణితంలో ద్విపరిమాణ గణితమూ త్రిపరిమాణ గణితమూ అని ఉన్నాయి. ద్విపరిమాణ గణితంతో వివిధరకాల రేఖారూపాలు సిధ్ధిస్తాయి. త్రిపరిమాణ గణితంతో ఎత్తు అనే మూడవపరిమాణం కూడా జోడించటం జరుగుతుంది.
ఉదాహరణకు ద్విపరిమాణ గణితంతో వృత్తాలను నిర్వచించ వచ్చును. గీయవచ్చును. త్రిపరిమాణ గణితంతో వృత్తానికి మూడవ పరిమాణం జోడించగానే మనకు గోళాకృతికి నిర్వచనాలూ నిర్మాణాలూ సిధ్ధిస్తాయి.
అంటే ద్విపరిమాణగణితం రేఖలనూ (యంత్రాల)నూ, త్రిపరిమాణ గణితం విగ్రహాలనూ స్థూలప్రపంచానికి నిర్వచన పూర్వకంగా చెప్తున్నది.
ఐతే ద్విపరిమాణం ఐనా త్రిపరిమాణం ఐనా సరే వెనుక నున్న ఆధారం మాత్రం త్రిపరిమాణ రహితమైన బిందువు!
